(Este é um resumo comentado do artigo "Quantum interference with slits").

O experimento da fenda dupla é um dos mais intrigantes que temos acesso em um primeiro contato com a teoria quântica. Muito se fala (de forma qualitativa) nos livros, mas pouco é mostrado do ponto de vista matemático, pela sua complexidade técnica. Qualitativamente ele mostra a dualidade onda-partícula. De forma resumida, quando o elétron passa por uma fenda ele exibe comportamento corpuscular e quando passa por duas fendas exibe comportamento ondulatório.

Esta é uma abordagem quântica (com algumas aproximações) do experimento da fenda dupla com partículas livres. A mecânica quântica é uma teoria de observáveis e suas medidas. Os seus postulados fornecem instruções para o cálculo das probabilidades das medidas desses observáveis. De acordo com o postulado de Born, a probabilidade de um sistema no estado inicial (\psi_i) ser medido em um estado final (\psi_f) é

\begin{equation*}
P=|\langle\psi_f|\psi_i\rangle|^2.
\end{equation*}

O aparato experimental de um sistema com duas fendas está ilustrado na figura a seguir. Vamos calcular a probabilidade de uma partícula emergir das fendas em um ângulo \theta. O estado inicial consiste no sistema "fonte-fenda", isto é, a fonte de partículas mais as fendas constituem o estado inicial do sistema. O estado final é determinado pela medida do ângulo de espalhamento \theta. O estado inicial é um estado de posição, enquanto que o estado final é um autoestado de momento.

A probabilidade que a partícula seja espalhada (pelo sistema de fendas) com momento p_y=p\sin{\theta} vale

\begin{equation*}
P(p_y)=|\langle p_y|\psi\rangle|^2.
\end{equation*}

Esta é a função de probabilidades que exibe a interferência quântica.

Na representação de posição, a autofunção de momento de uma partícula livre é

\begin{equation*}
\langle y|p_y\rangle=\frac{e^{i(p_y/\hbar)/y}}{\sqrt{2\pi}},
\end{equation*}

e a amplitude de espalhamento em um ângulo \theta vale

\begin{equation}
\langle p_y|\psi\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\langle p_y|y\rangle\langle y|\psi\rangle dy=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-i(p_y/\hbar)/y}\psi(y) dy.
\label{amp}
\end{equation}

O próximo passo consiste em resolver a integral (\ref{amp}) através da construção da função de estado da posição \langle y|\psi\rangle=\psi(y). Nos casos a seguir, apresentaremos apenas as autofunções de posição e as suas respectivas amplitudes (funções de probabilidades) para, em seguida, interpretarmos os resultados.

1. Uma fenda estreita

Este é um aparato ideal para medir a posição com precisão infinita. Uma partícula que passa pela fenda y=y_1 está no autoestado de posição |y_1\rangle. Na representação de posição, a autofunção de posição é simplesmente uma delta de Dirac

\begin{equation*}
\psi(y)=\langle y|y_1\rangle=\delta(y-y_1).
\end{equation*}

Resolvendo a integral (\ref{amp}), temos que

\begin{equation*}
P(p_y)=|\langle p_y|\psi\rangle|^2=|e^{-i(p_y/\hbar)/y}/\sqrt{2\pi}|^2.
\end{equation*}

P(p_y) é constante e a partícula é espalhada em qualquer ângulo com igual probabilidade. Portanto, não há interferência.

2. Duas fendas estreitas

Neste caso, temos

\begin{equation*}
|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|y_1\rangle+|y_2\rangle),\\
\psi(y)=\langle y|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(\delta(y-y_1)+\delta(y-y_2)),\\
P(p_y)=\frac{1}{2\pi}(1+\cos{(p_y/\hbar)d}),
\end{equation*}

onde d=y_1-y_2 é a distância entre as fendas. Usando a definição \phi=pd\sin{\theta}/\hbar e usando a fórmula 1+\cos{\phi}=2\cos^2{(\phi/2)},

P(\phi)=\cos^2{(\phi/2)}/\pi.

Esta é a distribuição de intensidade da difração de Fraunhofer.

3. Uma fenda com largura "a"

Neste caso, temos

\psi(y)=\langle y|\psi\rangle=\left\{\begin{array}{r@{\quad\quad}l}\frac{1}{\sqrt{a}}&-a/2\le y\le a/2,\\0&\textrm{nas demais regioes},\end{array}\right.

P(\alpha)=\frac{a}{2\pi}\left(\frac{\sin{\alpha}}{\alpha}\right)^2.

Este padrão é o mesmo obtido com luz, onde \alpha=ap_y/2\hbar=ap\sin{\theta}/2\hbar.

4. Duas fendas com largura "a"

Neste caso, temos

|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\psi_1\rangle+|\psi_2\rangle),

onde

\psi(y_1)=\langle y|\psi_1\rangle=\left\{\begin{array}{r@{\quad\quad}l}\frac{1}{\sqrt{a}}&y_1-a/2\le y\le y_1+a/2,\\0&\textrm{nas demais regioes},\end{array}\right.

\psi(y_2)=\langle y|\psi_2\rangle=\left\{\begin{array}{r@{\quad\quad}l}\frac{1}{\sqrt{a}}&y_2-a/2\le y\le y_2+a/2,\\0&\textrm{nas demais regioes},\end{array}\right.

P(\phi)=\frac{2a}{\pi}\cos^2{(\phi/2)}\left(\frac{\sin{\alpha}}{\alpha}\right)^2,

onde \phi=pd\sin{\theta}/\hbar e \alpha=ap\sin{\theta}/2\hbar. Esta distribuição coincide com o resultado da óptica. Note que P(\phi) depende da separação (d) e da largura das fendas (a).

5. Uma fenda estreita e uma fenda com largura "a"

Neste caso, temos

|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|y_1\rangle+|\psi_2\rangle),

\psi(y_1)=\langle y|y_1\rangle=\delta(y-y_1),

\psi(y_2)=\langle y|\psi_2\rangle=\left\{\begin{array}{r@{\quad\quad}l}\frac{1}{\sqrt{a}}&y_2-a/2\le y\le y_2+a/2,\\0&\textrm{nas demais regioes},\end{array}\right.

P(\phi)=\frac{1}{4\pi}+\frac{a}{4\pi}\left(\frac{\sin{\alpha}}{\alpha}\right)^2+\frac{\sqrt{a}}{2}\frac{\sin{\alpha}}{\alpha}\cos{\phi}.

Aqui, mais uma vez, \phi=pd\sin{\theta}/\hbar e \alpha=ap\sin{\theta}/2\hbar.

Este é um resultado interessante pois aparecem três termos. O primeiro (a esquerda) é constante e, por isso, corresponde à contribuição da partícula passando apenas pela fenda estreita. O termo do meio corresponde à partícula passando apenas pela fenda com largura a. E o terceiro (a direita) é um termo misto, depende das duas fendas e, portanto, corresponde à partícula passando pelas duas fendas.